Возможны оба варианта. См. «Правила».
Это дополнение.
Фраза возможна, если контекст располагает к иронии, языковой игре.
В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).